一类Beddington-Leslie型捕食系统的定性分析

段立江 徐瑞 杜艳可
军械工程学院基础部,河北石家庄050003

文章摘要:研究一类Beddington-Leslie型捕食者-食饵模型dx/dt=x（r1-a11x-a12y/a＋bx＋cy）,dy/dt=ry（1-y/hx）,应用微分方程定性理论，得出该系统极限环的存在性、唯一性以及正平衡点的全局渐近稳定性的充分条件。
文章主题:捕食者-食饵系统 平衡点 极限环

文章内容：第19卷第5期2007年10月军械工程学院学报_19.5.,2007文章编号:1008—2956(2007)05—0076—03一类—型捕食系统的定性分析段立江,徐瑞,杜艳可(军械工程学院基础部,河北石家庄050003)捅要:研究一类—型捕食者一食饵模型『鲁一),【业:(1一),应用微分方程定性理论,得出该系统极限环的存在性,唯一性以及正平衡点的全局渐近稳定性的充分条件.关键词:捕食者一食饵系统;平衡点;极限环中图分类号:175.12文献标识码:?-?--,,—(,,050003,):——.,.:—;;1准备工作对于捕食者一食饵模型,目前已有很多研究结果,笔者讨论如下一类—型功能性反应的捕食者一食饵系统,012(-一.--一:(1一).应用微分方程定性理论,给出了系统(1)极限环的存在性,唯一性以及正平衡点的全局渐近稳定性的充分条件.基于系统(1)的生态意义,笔者只在区域=(,)&;0,),≥0中讨论问题,且系统中参数,0,02,0,,,,均为正常数.收稿13期:2007-03?27;修回13期:2007-06—28作者简介:段立江(1978一),男,学士,助教作变换=(0++)7-,则(1)式变为='一.-'.+6+一.2'1(2)=(.++)(一).作无量纲变换=(/..),=(/..),=[../()],仍将,,分别记为,,,则式(2)可化为=[(—)(1++)一]全(,),鲁=((1++](),(3)式中::旦,:,:,:均为正数.000000笔者在区域内对系统(3)进行定性分析.第5期段立江等:一类—型捕食系统的定性分析2平衡点分析易计算系统(3)在内有且仅有2个平衡点(,0)与(,),其中'=,=[(+)—一1+『+1一(+日)]+4(+日)]/2(+日).易知&;.令=+(+日+—)++1.(4)定理1(,0)为系统(3)的鞍点.定理2当&;0时,5(,)为系统(3)的不稳定焦点或结点;当&;0时,5(,)为系统(3)的稳定焦点或结点;当=0时,5(,)为系统(3)的一阶稳定细焦点.定理1较易判断,证略;定理2利用平衡点5(,)处的特征方程及形式级数法即可判定.3极限环的存在唯一性定理3当&;0时,系统(3)在内至少存在一个极限环,这里见式(4).证明:当&;0时,正平衡点5(,)为不稳定的焦点或结点,由环域定理,笔者只需构造外境界线.由于警=一&;0,故当轨线=与=相遇时,均从右向左穿过直线=.,由于=(—)(1++日),从而当:0&;&;时&;0,故轨线与直线=相遇时=均从其上方穿入下方(见图1).0图1环域示意图由于原点是系统(3)的平衡点,利用法域的概念可知轴是系统(3)沿特征方向0=1『/2进入原点的唯一轨线,又注意到轴是系统(3)的积分曲线,则轴,轴及=,=构成了环域外境界线,由环域定理可知系统(3)在内至少存在一个极限.引理1设系统(3)有闭轨,,其最小正周期为,则1).(—)(1++)一]=0,2)(一)(1++)=0,3)(—)￡=[—(—)(1+日)].证明:由系统(3)可知1:(—)(1+邶)一],￡=(—)(1++).因此:(—)(1++)一=山=0,(—)(1++8)￡=￡=0.再由式1)得0[2(—)+(—)(1+)一]=0,故([脚(1+)3￡.定理4当&;0且+——≤1时,系统(3)在内存在唯一稳定的极限环.证明:由定理3知,系统(3)在区域=(,)10&;&;,0&;&;内至少存在一个极限环,设为,,是的最小正周期.下面计算的特征指数.,由引理1可得.=10(,_+3)￡=2(一1+舭+一]+[一(1++日)+(一)]+(一2)(1++日)+(—)=』'-—3—2一+(+——)—.由&;0可得&;++,从而+——&;0.令,):(+——)—=[(+——)—],显然当0≤≤时,)≤0.78军械工程学院学报考虑到极限环必在区域日内存在,故当≥,即+——≤1时,.&;0,即厂必稳定,从而也证明了系统(3)在区域中至多存在一个极限环.4极限环的不存在性定理5只要下列5个条件之一成立,则系统(3)在内无极限环.1)≤≤1/,2)≤1且(—)≤4,3)+≥+,4)+1≥,5)≥.证明:由定理3知,若(3)存在极限环,则必在区域=(,)10&;&;,0&;&;中,下面证明这不可能.在单连通区域日内,取函数(,)=.,令,)=+.取=一2,=一1,(,)=一(1一)～一(—)～一2一一—一一2一.当≤≤1/或≤1且(—)≤4时,(,)&;0.取=一3,=一1,(,)=一一～一(+——)一一),～一一一2一,只要+≥+,则(,)&;0.取=一2,=一2,,(,)=一-1一一(+1一)一一2～一～一～.当+1≥时,(,)&;0.取=一3,=一2,(,)=一(+1)-2一一一一(—)～一～一一,当&;时,(,)&;0.由判别法知只要满足上述5条件之一,则系统(3)在无环,证毕.定理6当定理5中的5个条件之一成立时,系统(3)的正平衡点(,)在区域=(,)&;0,&;0内全局渐近稳定.参考文献:[]李医民,刘娟.两种群都有收获率的ⅱ类模型的定性分析[].江苏大学学报,2006(5):463-466.[2]杜艳可,徐瑞,段立江.一类比率型捕食系统的定性分析[].军械工程学院学报,2007,19(2):76-78.[3]马知恩,周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[].北京:科学出版社,2001,(责任编辑:欧阳晓黎)