具偏差变元的Rayleigh方程的周期解

周英告
中南大学数学科学与计算技术学院,长沙410083

文章摘要:研究了一类具偏差变元的非自治Rayleigh方程x^n（t）＋f（t,x＇（t））＋g（t-τ（t））=p（t）的周期解问题，利用Mawhin延拓定理和一个改进的先验估计，获得了一些新的结果．同时也改进并推广了已有文献中的一些结果．
文章主题:Rayleigh方程 周期解 先验估计

文章内容：第9卷第3期2007年9月应用泛函分析学报1.9.3.,2007文章编号:]009—1327(2007)03—0266—07具偏差变元的方程的周期解周英告(中南大学数学科学与计算技术学院,长沙4]0083)摘要:研究了一类具偏差变元的非自治方程"()+(,())+(,(—()))=()的周期解问题,利用延拓定理和一个改进的先验估计,获得了一些新的结果.同时也改进并推广了已有文献中的一些结果.关键词:方程;周期解;先验估计中图分类号:1771引言考虑具偏差变元的非自治方程-(￡)+(,-(￡))+(￡,-,(￡一(￡)))一户(￡),(1.1)其中,,∈(,)关于第一个变元都是丁一周期的,,∈(,)都是丁一周期的(丁&;0).近年来,有关方程周期解的问题已引起了人们的关注(参见文[1—6]及其引文).在文[6]中,和讨论了下列形式的方程"()+(())+(,(—()))一户(),(1.2)其中,,户,∈(,)是丁一周期的,∈(,)关于第一个变元是丁一周期的.利用延拓定理,在厂(0)=的条件下,文[6]获得了下列的结果.定理假设存在一个正常数和两个非负常数和使得4&;1,并且满足(1)((￡,)一户(￡))&;0,∈,1.28.如果下列条件之一成立:1)/'(-)三三三0,_,∈,(,-)一户(￡)一—,∈,.28三三三;2)()三三三0,∈,(￡,-)一户(￡)一7+,∈,-一.那么,方程(1.2)至少有一个丁一周期解.定理假设存在一个正常数和两个非负常数和使得4&;1,并且满足(2)((￡,-)一户(￡))&;0,∈,-.如果下列条件之一成立:3)厂(-)三三=0,,27∈,(￡,)一户(￡)/".—,∈,-一;4)厂(),.∈,(,-)一户(￡)+,∈,.那么,方程(1.2)至少有一个丁一周期解.注1.1在定理和定理中,如果—一0,那么条件(1)与1),(1)与2),(2)与3)以及(2)与4)都矛盾.因此,常数和不能同时为0.在这篇文章中,我们将讨论方程(1.1)的丁一周期解问题.通过利用延拓定理和一个改进的收稿日期:2006—09—22基金项目:国家自然科学基金(10471153);湖南省自然科学基金(626)第3期周英告:具分布变元的方程的周期解267先验估计我们获得了方程(1.1)存在周期解的一些新的充分性条件,同时也改进并推广了文献[2—4,6]中已有的结果.出于方便考虑,本文用.表示连续71一周期函数()构成的空间,其范数为__.一∈[]();用1表示连续可微丁一周期函数()构成的字问,其范数为_]一(),-()).2预备知识分别定义算子和ⅳ为:.(,)一7,()"(),ⅳ:1一¨()—(,())一(,(—()))+().则有—,一∈()一0.再分别定义投影算子和为0:一,()(0),:一/,()().』0则有—,—.对某个正数,令一∈:『_.,,.=三三.则由文[1]不难知道,是一个0指标的算子,在上是一紧的.对方程(1.1)来讲,由(2.1)和(2.2)知道,算子方程一2,∈(0,1)(2.1)(2.2)等价于下列辅助方程32"()+(,())+2(,(～()))一2(),∈(0,1).(2.3)为引用方便起见,首先给出延拓定理.引理2.1(延拓定理)设和是空间,是有界开子集,:()—是一个0指标的算子,ⅳ:—在上是一紧的.若下列条件满足1)≠2,∈(),∈(,1);2),∈;3)(,'2,0)≠0.那么,算子方程—在上至少有一个解.引理2.2[设()是连续可微的丁一周期函数.那么,对任意的∈(一,)都有1()()+去().(2.4)3主要结果定理3.1假设存在正常数和非负常数和(不同时为0,一1,2)使得(1)0(,)一—,(,)∈;(2)((,)+(,0)～())&;0,∈,;(3)(,)一2."～2,∈,.如果7"14-12&;1,那么,方程(1.1)至少有一个～周期解.证明记一...1_户()一厂(,)1,/@=,二2,.则由(2)和(3)分别得∈[.7'],』268应用泛函分析学报第9卷到((,)+(,)一())&;0,∈,三三三,和(,)一2—2,∈,.现在,设:()是辅助方程(2.3)的任一丁一周期解,则存在,∈,丁]使得(1)一(),(2)一.-().∈[0.']∈?7这样,我们有(1)一(2)一0,(1)三三三0,"(2)二三三0.由(2.3)和(3.3)得(1,(1一(1)))+(1,)一(1)0,且(2,工(￡2一(2)))+(2,)一(￡2)0.根据(3.1)便有(】一(1))一和(2一(2)).因为(—())是连续的,所以存在一点∈使得(一()).令一()一+,其中,∈,丁],是一个整数.从而,().由引理2.2有.+&;+()0,..(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(35)(3.6)对方程(2.3)从0到'积分得厂(,,())+[(,(一()))一()]一0.(3.7)0√0令一:∈,丁],(—())&;一,:一:∈,丁],(—())三三三一,3一:∈,丁],(—())&;,一:∈,丁],(—())二三三.注意到(,)一()(,)+(,)一(),且当&;时,有一72—2(,)2.+2.于是,由(1),(3.1),(3.2)和(3.7),我们有(,(—()))一户()√==——<>[(,.(——()))——()]——'.厂(,())"三三三(,?(一()))一()+厂(,()).(3.8)√0这样,((—()))一()02(,(—()))一()+厂(,())0第3期2周英告:具分布变元的方程的周期解+)1(,-(——()))——户()1+1厂(,-())111三三三2丁.+2(7'(5一())+)出+2户)05+.厂(5,-(5))5.271(.+.++.)+(,-(5)),0其中,.一(,-)一户()1.由引理2.2便得.'].≤.专.,/(:—[』厂(,-())1+』.(,-(——()))——户()从而,71(+(+(.+(+-,1.++-.)+厂(.