蒙特卡罗方法在无穷级数中的应用

柴中林
中国计量学院理学院,浙江杭州310018

文章摘要:将蒙特卡罗方法应用到无穷级数中去，证明了蒙特卡罗方法可以求收敛的无穷级数的和，也可以一定程度上判断无穷级数的敛散性．此外，通过模拟对随机变量及其参数的选择进行了讨论．
文章主题:蒙特卡罗方法 无穷级数 大数定律

文章内容：第18卷第3期2007年9月中国计量学院学报0_18.3.2007【文章编号】1004—1540(2007)03—0257—04蒙特卡罗方法在无穷级数中的应用柴中林(中国计量学院理学院,浙江杭州310018)【摘要】将蒙特卡罗方法应用到无穷级数中去,证明了蒙特卡罗方法可以求收敛的无穷级数的和,也可以一定程度上判断无穷级数的敛散性.此外,通过模拟对随机变量及其参数的选择进行了讨论.【关键词】蒙特卡罗方法;无穷级数;大数定律【中图分类号】0242.1【文献标识码】—(,,310018,):..—.,—.;;蒙特卡罗(—)方法又称随机抽样方法或统计试验方法,是一种重要的利用计算机模拟的近似计算方法,已被广泛地运用到许多领域上去].与其它数值方法相比,蒙特卡罗方法有其缺点,但也有其优越性.无穷级数理论是数学理论体系中的一个重要组成部分,是表示函数,研究函数的一个重要工具.但从查到的文献上看,还没有用蒙特卡罗方法研究无穷级数的文章,为此,本文拟做这方面的研究.1蒙特卡罗方法求收敛级数的和常数项无穷级数(简称级数)的一般形式是∑(1)"=对级数(1),首先要讨论的问题是它的收敛和发散.对这个问题,已有相关理论给予解决].当级数(1)收敛时,有一个和,设为5.5通常不是能直观观察或计算出来的[5].为求,可以通过构造一个幂级数或傅立叶级数甚至一个概率模型【收稿日期】2007—06—21【基金项目】浙江省教育厅科研基金资助项目(.20060532)【作者简介】柴中林(1964一),男,副教授.主要研究方向为应用数学与生物数学258中国计量学院学报第18卷来得到,但通过这些方法能求出级数和的仍是很有限的.当然,我们可以根据收敛级数的定义,对足够大的,用无穷级数的前项和作为的近似值.然而既然是近似值,可否用蒙特卡罗方法来求解呢?蒙特卡罗方法的基本思想是,为了求解数学,物理和工程技术等方面的问题,首先构造一个与概率有关的模型,使所求问题的解正好是该模型的特征参数.然后,通过模拟(统计试验),给出模型特征参数的估计值,这个估计值就作为所要求的解的近似值.下面我们根据这个原理来构造一个概率模型,用蒙特卡罗方法求收敛的无穷级数的和.一设离散型随机变量的可能取得的值是1,2,3,…其分布率为(—)一(一1,2,3,…),并将它简记为(),且不妨设()≠0.将级数(1)的通项记作(),当级数(1)收敛时,就有一一)一()()一(2)式(2)中随机变量刁一"()/().这样,求级数(1)的和就转化为求随机变量77的数学期望问题了.于是,我们有定理1若级数:"()收敛,其和是5,随机变量的所有可能取值是1,2,3,…,其分布率为(—)一()且不等于0.随机变量一"()/(),设,,…,…是一列独立且与有相同分布的随机变量序列,则对于任意的￡&;0,:(吉一&;￡)?证明由前面的分析知一,根据辛钦大数定律ⅲ即得结论.根据定理1,对足够大的,从服从77分布的总体中抽取简单随机样本,,…,则可用样本均值—1∑作为级数和的近似值.因为随着的增大,样本均值刁依概率无限接近于,故利用这个原理就可以利用计算机产生随机数进行数值模拟计算的近似值了,这就是蒙特卡罗方法计算无穷级数和的原理.利用蒙特卡罗方法求无穷级数的和,在常用的概率分布中只能选择服从分布和几何分布的随机变量.下面的表1～4分别是用服从分布和几何分布的随机变量在参数取∞一1两个不同值下求级数—_和的模拟,这—=—1"/1"/1_1,个和是1,所用的软件是5.3.表1利用分布(=0.5)求得的级数和表2利用分布(=5)求得的级数和表3利用几何分布(=0.2)求得的级数和表4利用几何分布(=0.5)求得的级数和表1和表2给出了利用服从分布的随机变量,参数取值0.5和5分别模拟5000次,10000次和20000次的模拟结果,表3和表4分别给出了利用服从几何分布的随机变量,参数取值0.2和0.5分别模拟5000次,10000次和20000次的模拟结果.从模拟结果可以看出,模拟所得的结果是稳定的,在一定程度上可以作为级数和的近似值.从表中还可以看出,模拟所得结果精度不高,当模拟次数足够大后精度不随模拟次数的增加而提高,这是蒙特卡罗方法的共同特点].用蒙特卡罗方法做模拟,其误差是概率误差,不是一般意义上的误差.此外,从表中还可以看出,当构造的随机变量服从几何分布时,其模拟结果要好于用服从分布的随机变量的模拟结果.这个结论是由两个随机变量的性质决定的.2用蒙特卡罗方法求级数和的误差分析近似计算中的一个基本内容,就是对计算结第3期柴中林:蒙特卡罗方法在无穷级数中的应用259果做误差分析与估计.蒙特卡罗方法是以概率模型为基础的,故当做误差估计时,一般要用到模型中随机变量的方差.在本文对级数求和的概率模型中,误差估计需要随机变量/的方差.上面的讨论说明了当级数收敛时,/的数学期望存在,那么/的方差/存在吗?根据方差的性质,刀的存在性等价于/的存在性,而这时显然有3)式(3)右端是一个正项级数.因为显然有()一1且0&;()&;1,从而可知()一1一..一0.由此可知当—.时"()/()可能很大,叩未必存在.当叩存在时,可用与方差有关的理论口]来对计算结果做误差估计,而当刁不存在时则不能用相应的理论来对计算结果做误差估计.因为方差77一/一(/),再由正项级数的性质可知无论是否存在,当式(3)中的"()/()的值较大时,模拟得到的级数和的计算结果将会较差.考虑模拟中可以用到的随机变量,当服从分布时,)一^_,而当:服从几何分布时,()一(1一)(&;&;1).因为当—×.时_接近于0的速度要快于!(1一)接近于0的速度,故由式(3)可知,用服从几何分布的随机变量去模拟其结果要好于用服从分布的随机变量的模拟.而对服从几何分布的随机变量,参数取较小值的模拟结果要好于参数取较大值的模拟结果.当然,由于模拟中用的是伪随机数以及其它方面的原因,参数的取值也不宜太小.3用蒙特卡罗方法判断无穷级数的敛散性无穷级数除了收敛,还有发