数控加工曲线的等弧长圆弧拟合方法

姚必强 姚进
[1]攀枝花学院机电工程学院,四川攀枝花617000 [2]四川大学制造科学与工程学院,四川成都610065

文章摘要:数控加工中，只有直线和圆弧才能直接进行加工，对其他任何曲线的加工都必须首先用直线或圆弧进行拟合。用圆弧拟合曲线的方法很多，但都存在不同程度的不足。为此提出了用曲线段长度作为圆弧长度，按照曲线段斜率变化规律判定圆心方位，以凸弧代替凸曲线的曲线圆弧拟合方法；用级数展开简化超越三角方程，避免了迭代求解的麻烦，提高了曲线拟合效率。计算结果表明：所提出的方法其曲线拟合精度较高，计算便捷，是实际应用中曲线轮廓加工的有效曲线拟合方法。
文章主题:数控加工 曲线拟合 等弧长圆弧

文章内容：第4卷第1期2008年1月四川大学学报(工程科学版)()1.40.1.28文章编号:1009—3087(2008)01-0171-04数控加工曲线的等弧长圆弧拟合方法姚必强,姚进(1.攀枝花学院机电工程学院,四川攀枝花617000;2.四川大学制造科学与工程学院,四川成都610065)摘要:数控加工中,只有直线和圆弧才能直接进行加工,对其他任何曲线的加工都必须首先用直线或圆弧进行拟合.用圆弧拟合曲线的方法很多,但都存在不同程度的不足.为此提出了用曲线段长度作为圆弧长度,按照曲线段斜率变化规律判定圆心方位,以凸弧代替凸曲线的曲线圆弧拟合方法;用级数展开简化超越三角方程,避免了迭代求解的麻烦,提高了曲线拟合效率.计算结果表明:所提出的方法其曲线拟合精度较高,计算便捷,是实际应用中曲线轮廓加工的有效曲线拟合方法.关键词:数控加工;曲线拟合;等弧长圆弧中图分类号:164文献标识码:—,(1..,.,617000,;2...,.,610065,):,,.,.,,..,.:;;用折线拟合曲线轮廓,是数控加工中常用的曲线轮廓处理方法.这种以直线作为曲线拟合基元的方法,比较流行的有等间距法,等步长法引,等误差法和最小误差法.在等间距直线拟合方法收稿日期:2006—09—10作者简介:姚必强(1963一),男,副教授.研究方向:/,/.通讯联系人中,采用的是等坐标变化规律,尚未考虑曲线的凸凹变化.如果所选取的坐标变化间距太大,会导致比较严重的拟合失真,如果太小,则拟合过程变得繁琐.等步长法则是用等长弦逼近曲线轮廓,为保证高的逼近精度,其步长往往取决于曲线的最小曲率半径;如果曲线中仅有一段或少数段曲线的曲率半径很小,则会导致整个曲线的拟合速度严重下降,拟合效率低下.等误差法和最小误差法虽然较前两者优秀,但计算十分复杂,推广性受到限制.这类用直172四川大学学报(工程科学版)第4卷线拟合曲线的方法,只能整体表明曲线的走向,不能很好的逼近曲线的实际形态.用圆弧作为曲线拟合基元的拟合方法,不仅能够表明曲线的走向,还能很好的逼近曲线的原始形态.比较流行的拟合方法有三点共圆法¨,最小二乘法和双圆弧法等.三点共圆法是圆弧拟合的原始方法,其拟合精度取决于曲线上三个节点的位置,曲率不同,节点的疏密程度不同,拟合精度差异很大,实际应用很少.最小二乘法计算比较复杂,需要求解超定方程组,编程计算所耗机时多,效率低.双圆弧法虽然精度较高,但计算参数多,计算量大,拟合效率低,在一般工程应用中也很少推广应用.作者在研究了数控加工中大量曲线拟合方法的基础上,提出了一种用轮廓曲线长度等于圆弧长度,根据曲线段斜率变化规律确定圆心方位,以凸弧代替凸曲线的曲线等弧长圆弧拟合方法,并在该方法中使用了级数展开来简化超越三角方程,避免了迭代求解的麻烦.曲线等弧长圆弧拟合理论1.1等弧长圆弧的建立曲线等弧长圆弧拟合方法的基本思想是:对经过参数化表达或分段函数描述的工件轮廓曲线,在其曲线段(不包含直线和圆)上,用一段弧长与原曲线的长度相等且凸凹方向一致的圆弧逼近拟合原来曲线.平面非圆曲线(),()]=0,如图1所示.图1曲线的圆弧拟合.1在曲线上任取一段,其起点坐标为(,),终点坐标为8(,),曲线上,两点间的曲线长度为:5=((￡)+())丁(1)^,两点间的距离:=/(6一)+(6一)(2)为了使拟合圆弧与实际曲线充分逼近,则取拟合圆弧的弧长与,两点间的曲线长度相等构造一段等弧长圆弧.即:=(3)等弧长圆弧的圆心为(.,),圆心角为2,其弧长和弦长分别为:—=‰(4):2?式中,为拟合圆弧的半径,由式(3),式(4)可得:一曼—或一———(5).戥一——一))只要能对工件轮廓曲线进行参数化表达(包括非有理样条插值)或分段函数描述4】,根据式(1)求出轮廓曲线的曲线长度,就可以建立该段曲线的半径为,圆心角为2的等弧长拟合圆弧.1.2等弧长圆弧参数的确定式(5)是一个关于的超越三角函数方程,不能直接求得值的解析解,一般方法是数值迭代求解.由于迭代求解比较繁琐,通过编程计算所耗机时长,不适于数控快速加工.将式(5)中按多项式级数展开得:一+一+.一+.一+玎一万一+(一1).取前3项代入式(5)便可将该超越方程转化为代数方程,即:1一鲁+(6)为保证等弧长圆弧与工件轮廓曲线能够高度逼近,等弧长圆弧控制在÷等弧长圆周的范围内,即:事实上,当0&;詈时,用展开级数的前三项代替其截断误差是很小的,即:号一(詈一+)=0.000036264.如果&;子时,计算误差还会更小.因此,用小第1期姚必强,等:数控加工曲线的等弧长圆弧拟合方法73于或等于1等弧长圆周的圆弧拟合曲线时,式(6)具有高的计算精度.求解式(6)并考虑",得到:√10一,/一120(1一)(7)当'-时,由式(5)可得:后450<>9(8)耵/珥因此,用等弧长圆弧逼近被加工轮廓曲线时,以保证拟合精度为前提,其弦长与曲线长度之比竽:应满足:0.9&;1.0(9)如果&;0.9,就缩短,以增大后值.将式(7)求得的代入(4)式,则得:尺:或:(10)根据图1中的几何关系,便可求得等弧长圆弧的圆心坐标(,)为:』=+尺..(11)<>=.干'其中,:一干一([).厶6一.用圆弧长度代替曲线长度,存在两段反向的等弧长圆弧如图2所示.圆心分别为和.为了拟合时能充分逼近原曲线的形态与走向,可按照曲线(),()]的切线斜率厂(),()]<>的变化规律,确定代用圆弧的圆心所在的位置,使其始终处于曲线的凹向一侧.当[(),()]&;0时,曲线用凸弧代替,式(11)中取"一";反之取"+".1.3等弧长圆弧拟合的误差计算等弧长圆弧是通过曲线上待拟曲线段的两个端点且与曲线凸凹方向一致的一段圆弧,因此,在两个端点上不存在拟合误差,最大误差发生在曲线段的中间部分,如图2所示.为了表达实际曲线与等弧长圆弧的拟合偏差,取曲线上某点到等弧长圆弧圆心的距离与等弧长圆弧的半径之差来表示.其误差表示为:=/(一.)+(—)一(12)当给定许用拟合误差[]后