经典Lucas-Fibonacci数列的上、下界公式研究

陈芳 黄益如
上海大学理学院数学系,上海200444

文章摘要:本文在研究van der Waerden数的过程中，在把van der Waerden数的问题转化成关于线性不等式组解数问题的基础上，发现局部不等式组的解数Sp与经典Lucas-Fibonacci序列有关，同时在此基础上给出了经典Lucas-Fibonacci序列Sp的一个上、下界公式．
文章主题:Lucas-Fibonacci序列,van der Waerden数W（n,n）,上、下界

文章内容：2007年6月,2007应用数学与计算数学学报...第21卷第1期01.21.1经典.数列的上,下界公式研究陈芳黄益如摘要本文在研究321数的过程中,在把数的问题转化成关于线性不等式组解数问题的基础上,发现局部不等式组的解数与经典'序列有关,同时在此基础上给出了经典—序列的一个上,下界公式.关键词.序列,数(,礼),上,下界—,,(),().—,(,礼),皿11920年,德国数学家提出一个猜想:"若把正整数集合任意分拆成二部分,则对任意给定的正整数,这二部分中必有一部分含有阶等差数列,+,+2,…,+(一1)."1927年,数学家[1,2】完成了这个证明.后来就把这类数冠以他的名字,称为数(,).但白1927年以来,只求出了三个数:(3,3)=9,(4,4)=35,(5,5)=178,且后两个还是用计算机求得的.于是人们希望对它有较好的上,下界估计.至今最好的上界是1988年以色列数学家[31证明的(,)≤2,共有2(一1,一1)个2.虽然这个上界奇大,连都无法与它比较,却至今仍无人能对它有所改进.在数(,)研究[4]的基础上,我们发现局部线性不等式组的解数是一个经典.序列,并且求出了的上,下界.以下我们总是用[]表示集合1,2,…),以【表示不超过的最大整数.定理对任意给定的正整数≥3,必存在正整数(,),使当把(,)个数的集合[]=1,2,…,(,))任意分拆成两个部分后,其中必有一部分含有阶等差数列,+,+2,…,+(一1);若记(,)=+1,则至少还存在一个分拆[]=,使或内皆不含阶等差数列.以下定理1是定理的等价形式:定理1(,)为数,设≥(,),=0或1,1≤≤,=本文2005年11月30日收到.本文获国家自然科学基金资助(项目编号:10171062).1.上海大学理学院数学系,上海,200444;,,200444,.1期陈芳,等:经典.数列的上,下界公式研究117【署,≥3,则以下由—(一1)(+1)个不等式构成的线性不等式组无解::+二二2+-主一曼三二三二置一1+1..'[-≤"[--(_1)--以上第(1.)组有一(一1)个不等式,1≤≤.证明设2分拆[]=,且=,记0∈1∈&;(1.2)(1.)若或中存在公差为的阶等差数列,+,+2,…,+(一1),则必有∑+=0或,故这里的一(一1)(+1)个不等式表示在或中----0皆不存在阶等差数列.显然由数(,)的定义知:当≥(,)时,定理1中这一百1(一1)(+1)个不等式不能同时成立,于是本定理得证.定义1当≥3时,记.序列为:=≤一1=01≤≤一11一一,≥引理1设等于0或1(1≤≤),≥3,则恰是定理1中(1?1)的解数.证明当≤一1时,因2个2分拆[]=中总不含同属或的阶等差数列,故不等式组(1?1)的解数是=2;当=时,显然只有:【】,=,及=,=[]不是解,故不等式组(1?1)的解数是=2一2;当=且≥时,设不等式组(1?1)的解数是,则当=+1时:()若+1=0,由于+1与个解中的一部分能构成同属或公差为1的阶等差数列,这是必须删去的.即应删去使+1==一1=…=—+2=0,—+1=1的这一类解,它们共有告一+1个.118应用数学与计算数学学报21卷()若+1=1,由于+1与个解中的一部分能构成同属或公差为1的阶等差数列,这是必须删去的.即应删去使+1==-1=…=--+2=1,--+=0的这一类解,它们共有一+个.因此当=+1时,不等式组(1?1)的解数是2—一+1=2一1一一.故本引理得证.推论1(1)当=3时,不等式组(1?1)的解数是数列;(2)当&;3时,成立关系式:=一1+一2+…+一+1.证明(1)当=3时,由1:2,2=4,3=6知3:1+2,设=一1+一2,由引理1知+1=2—一2:-4-一1,故是数列;(2)当&;3时:如果=,易于验证=∑一=∑2=2一2;如果≥,设=∑—,=1=12=则一1一1+1=2—+1一=一+1一-4-∑—=∑+1一,故本推论得证.定义2()表示定理1中子不等式组(1?)在区间[]中共有()个解,特别记=(1).引理2一1()=【詈儿【+=1证明设()表示(1?)式共有()个2分拆[]=,且=,他们皆不含有公差为的同属或的阶等差数列.设=,取集合=,2,…,0.),=,+,+2,…,+0)(1≤≤一1),贝0[]=.易知每个集合(0≤≤一1)中不含有公差为的同属于或的阶等差数列的解数分别是..,.+1,.:+一,%-1+1个,故()公式得证.对集合[]的任意2分拆,使[]=,且=,如果设和都不包含公差为的同属或同属的长度为的等差数列,则具有这种性质的(,)的个数就是().很明显,这个数与数有关.我们需要知道的上,下界,然而用古典的组合方法是很难求出的特征方程=∑的根.我们通过求出的以下性质后,得到了的一个上,下界公式.引理3=∑(2一2)一一,≥2一2.=证明通过的定义和引理1,可以得到:=2一1一—=2(2一2一一一1)一一=22一2—2—一1一—=22(2一3一----2)一25一一1—5一陈芳,等:经典—数列的上,下界公式研究119根据一2=…=2--1_1)一∑2一=0一1一1=一,因此一(一1)==1=1一2一(一1)一=一一,所以=0一2一2-2=∑2-1一一一∑2一一=∑(2一一2)一=0=0=0(:)一,当≥时证明由引理1知当=1时等式成立;当=2时,由一=(一+一一)=(+2一+一)知引理成立.设当=时,引理为真,则故本引理得证.一一=(一+一一):1((:)+(:)--(+1)):(()),定理2成立—数列的上,下界公式(2"一一1)≤.&;2[2"一(几十1)2"],表示小于或等于的最大整数.证明由引理4知,≥嘉(,由引理3知,因此—≥∑,2"_.一2)一=(2"一几一1)一≥(2"一几一1)一2≥=0由的定义,得1)≤5=2一1—5一=225一2—25一1一一5一=23一3—22----2—2一一1一一∑=一=4理弓120应用数学与计算数学学报21卷由引理3和