一类新型“增”算子的不动点定理及应用

颜心力
西安建筑科技大学理学院,西安710055

文章摘要:在σ-备线性半序空间和具有正规锥P的实Banach空间,分别讨论其假设条件和论证方法均与以往不同的新型“增”算子,获得多个不动点的存在性定理与存在唯一性定理,并应用于非线性扩散、气体点燃、生化浓缩等领域中非线性特征值问题的求解。
文章主题:半序 算子 上（或下）解 不动点

文章内容：第24卷第5期工程数学学报1.240.52007年1月.2007文章编-:1005—3085(2007)05—0939—04一类新型"增"算子的不动点定理及应用颜心力(西安建筑科技大学理学院,西安710055)摘要:在一备线性半序空间和具有正规锥的实空间,分别讨论其假设条件和论证方法均与以往不同的新型"增"算子,获得多个不动点的存在性定理与存在唯一性定理,并应用于非线性扩散,气体点燃,生化浓缩等领域中非线性特征值问题的求解.关键词:半序;算子;上(或下)解;不动点分类号:(2000)4710中图分类号:175文献标识码:1前言及预备知识在半序空间讨论算子不动点的存在性时,一般需要三个假设条件:上下解,增(或混合单调1,紧【1-2】或连续【3】,最少必需二个【4】.对于算子不动点的存在唯一性,则除上述存在性假设条件外尚需加压缩【5]或凹凸[6-7】.本文向这些假设条件作全面挑战:在讨论存在性时删去上(或下)解(见()或无需单调性(),在求证存在唯一性时将压缩(或凹凸)换成各种新的条件(见(1)一()).压缩映射要求映象在整个空间或某闭集上压缩,但对于具体方程一般较难满足.不动点定理【8的要求也是整个空间.本文定理的假设()或()与定理的假设相似,但只要求在某区间札0,01上,故较易检验,且论证方法与文3,81完全不同.在由泛函所定义的半序线性空间以及对某些非线性微分方程的求解均可采用本文的结果.限于篇幅,"减"算子将另文讨论;同时,在该文中将见到假设().称为型空间,若为线性半序空间,且中有上界的增列札存在上确界=).显然,在型空间,有下界的减列有下确界=,且有原理[9】成立.称为型空间.若为实空间且具有正规锥.在本文中,设既为型也为型空间,札0,∈,札&;.2"增"算子定理1设:[,0]一满足下列条件之一:(1)增且,(0札0);(2)札(札0),(1)则存在最大不动点面(札0面0).收稿日期:2005—09—07.作者简介:颜一,2(1930年生),男,教授研究方向:非线性算子理论940程数学学报第24卷若除满足(1)或(2)外,还满足下列条件之一一则存在唯--;动点(),对于迭代有误差估计+(一),"4-1=,∈(0,1),=0,1,2&;(1-)(0--),当…一面一(或)(1一)—(为正规常数),当为型空间.证先证有最大不动点.设(1)成立,由(1),(2)有札1=+(—),,1一1=(1一)(—)0,+一=(一)2;因增,殳+1=1=,0(1-)(--)=+1一+1从而依归纳法可得,(1-)(几+1一)(1-)(—几)(1-)+—)…凡???凡???1'0一(1一)—)对(2),也可类似以_卜论证获得(4),(5).设为型空间.由(4):=),=依原理有=全且,由=面=.设∈[,]且故为在[,]的最大动点.对于(1),作辅助列+1:+(一),(1一)(一)0,+1一=(一)依(1),∈(0(1一)".从而0+1依(6)有.且.由(5)并(1)与(2)均有=几=,=,则--'0=(一)0,一=0,一+1:(1～)(一)0,从而有0…???1)使(一)一=一"+1,=0,1,2???=+1一+1一一(1一)(1一)(一)(1一)—)=0～一(1一)—)==故在[,]的不动点唯一.&;一&;一&;一,●●,,一一&;一&;一,==,一,==,使使1∈∈几]几]㈤㈣第5期颜心力:一类新型"增"算子的不动点定理及应用941对于(2),由(6),0一再1(6)有雷0≤依(4),(5)可知(3')成立.一1一面(一1一雷)一雷)一雷一雷(雷).依原理矢口雷=.设为型空间,由(4),(5)有0+～一(1一)(0一0),则存在正规常数ⅳ使+—(1一)口0一0,故)为列.从而=,同样雷=一<>且=,.仿上述证明可知:.至于唯一性,类似上述论证可知.对于满足(2)与(咒)(=1,2)时,其结论均不难获得.仿定理1的证明可得:定理2设:[,]一,若满足下列二条件之～:(1)增且00,(0):()()则存在最小不动点(0).若除满足()或()外,还满足下列条件之一则存在唯一不动点("0(0,1),=0,1,2,…有(3'),3应用),对于迭代+(3")成立."12几一(几一几),∈在非线性扩散,气体点燃,生化浓缩【_】等都涉及非线性特征值问题''+(￡),():0,0&;￡&;1(0)="(1)=0.易知,(7)与下述非线性积分方程等价())))())全这里函数,,=(1-),文献[11]在全连续与其它条件下,利用拓扑度理论获得了方程(8)正解的存在性.我们利用本文的不动点定理,在非紧情形下,获得正解的存在性并可用选代法求出其解.定理3设0,∈[,1],00,:[0,0]一[,0而且对于,满足(),(()),((￡)):()(,)9(),(())(￡),则对任何0&;&;1一令(￡,)夕(),(()),(8)1]连续,:[0,1]一连续,&;(￡).&;&;1(,)夕(),(()),&;0,方程(8)有解()(()()(￡)).—(一),=0,1,2&;一&;一&;一,●,,●●,一一&;一&;一一使使00∈∈几]几]942工程数学学报第24卷则或面=1(,)9(),("()),面=[一(一")],∈(0,1)～证由(),()有")(,)9(),("())(,)9(),(())1),^对式积分"()/(￡,)()(())(),10从而由定理2的2)知本定理成立;而且可由迭代求出.参考文献:【1],.[].,1987,11(5):623—632【2]张金清增算的不动点定理及其对含问断项非线性脉冲方程的应用__.数学学报,2002,45(6):1087—1098『3]张宪.序压缩映象的/动点定理__.数学学报,2005,48(51:973—978【4]颜心力.半序集一卜增算了的小动点定理及其应]__西安冶金建筑学院学报,1990,22(4):354—358【5]颜心力.对称儿缩算方程解的存在与唯'性定理及应用_.科学通报,19