四阶非线性系统的零解的全局稳定性的若干结论

苏明成

文章主题:非线性系统 零解 稳定性

文章内容：一怍战箍鲆.缀四阶非线性系统的零解的全局稳定性的若干结论苏明成(基础部)]1引言本文研究某些阿阶非线性系统的零解的全局穗定性,其中主要利用变量分离方法作李雅普诺夫函数然后利用垒局稳定性定理来检验条件,判断出系统的零解是否全局稳定.下面先介缁一些有关的定义和定理.定义1假设()为在域≤内定义的一个实值连续函数,(0)=0.如果对—切≠都有(&;0嘲称函数为正定的定义2函数..)被称为无限大的如果对于任何&;0,存在这样的&;0,使得在球:之胡,,下等式(.…,)&;成立定义3'系统一3-二(1_地.)(12.)的未被扰动运动(即零0(0…,0))被称为是全局稳定的,如果它在李雅普诺夫意义下是稳定的,并月系统—…()(==1,2.,)的所有其它解(￡)(=1,2)都具有性顷)0一2一]..理如果荐在正定叼具有无限大性质的函数(…),便得—:互—'【?)≤0,目在集合一;=--含=.(,2…...)=1,2…)的零解是全局稳定的.2主要结果定理1忙,=㈤+()系统—()+()()一=一()一()其中(0):0,(0):若满足:(1)6'≠0(2)()1(3)()&;,当≠0时(4)()&;0,当≠0时(5)()1一..,当11一..时则系统()的零解是全局稳定的.证明:佣变量分离法做出李稚普诺夫函数)设:()+()+(】+(】则案(】=()鲁+(+(】等+(】争'()+).卜()+()】+().[一()+()】+).卜()一()】'--(】一()0)+()∽一,)()+()(】一()'()一()(),(】一())=0(1)令()()一()()=0(2)?(】(】一(】(】=0(3)这时取『('∽将0)=代人(2)得()=:,这时取(2):将,(】:(3)得:,():,这目-取()=<>-<>所怍出的李雅普诺夫函数孝:=÷()+2+"'+-.由条件(3)知七:()&;,当≠0时而_&;,当≠时&;0,当≠0时2&;当≠0时.<>&;/0当且仅当====0时取等号故此,根据定义1得知所作出的函数是正定的.又由条件(5)知,是无限大的.叉由条件(4)知'()&;0,当≠0时<>'<>翱()=一妒(】≤当,,,令揪)=0即一)=0,由条件(4)知,要使()=0成立,只能是=.旺=弧㈧㈨知可由湛江农专学报1995年12卷第1期将三0代入…()()-'.0):0(已知)<>'<>得到7()=0,又由条件(2)()≠0∈<>'<>只能是=0将=0,=0代入'…()()得)=0又由条件(1))知,只能是0将=,=0代入:-()+得()=0,又由条件(3)知,只能是0..使.=0的解集合中,除了零解外,并不包含系统()的整条轨线.根据定理(】,系统()的零解是全局稳定的.,一()+叽()=(()一()系统1:()一(2)()=--,()其中是非零常数若满足:(1)&;(2)'()&;,当≠时(3)/)&;0,当≠0时(4))&;,当≠0时(5),()&;,当#0时(6)()—,当一.时(7)2(),—时(8,,(),当-.-(9)(),当—.时则系统()的霉解是全局稳定的.证明:(用分离变量法作出李雅普诺夫函数)设::()+()+_(2)+()则等()=()斗,(略+()詈+()詈=(),卜()+)]+)-【()一'()】+()-()一()]一()():=垦鱼21!±些!!曼曼2=!:!婴堕韭堡篓量薹堡笪茎垒旦塾室壁笪董王§堡一—————————————1())+)2()一￡()—())+'())(1)争≮一3()+)2()=0(2)4())一'()()=(3)由(1)知可取).:'()这时取().=))=()():)把,()=()代入(2)得).=()这时取(2)=()把)='()代入(3)得1)=—(),这时取()==—÷,()'<>所作出的李雅普诺夫函数为:()+'()+3()十—()由条件(2)知.()&;0当时由条件(1),(3)知由条件(1),(4)知()&;0,当#3()&;0由条件(5)知_()&;0<>?.0≥0当且仅当…由定义1知函数是正定的.当≠0时当≠时=0时取等号叉由条件(6)一(9)知,所作出的函数是无限大的叉由条件(1)知&;,.'.()=一()60对令紊()=0即()=由条件(4)知熙能=,把代^:(一3()得)=0由条件(3)知只能=0将=0代入='()一()得()=0由条-(2)只能是=将=0代,_一()+,()得)=0<>'<>是非零常数,由条件(5)知只能0<>'<>使者()=0的点集中,除零解外,并不包含系统()的整条轨线根据定理系统()的零解是全局稳定的.定理3?()+3()'()系统一,()屿((=一()丘()():一')()一()湛江农专学报1995年12卷第1期其中3【0)=0(0):0但.(】≠00)≠若满足:(1)&;0(2)【)&;0当≠0时(3)()&;0当≠0时(4)冯()&;0当≠0时.(5)'()&;0当≠时(6),()一∞'当—.(7)()—.当—.(8)()一∞当一∞(9),()一当—(1)()≠0(11)￡()≠(12)'()≠0∈则系统&;&;的零解是全局稳定的.证明:(用分离变量法作出李雅普诺夫函数)设艮0斗)+()+()痢鲁()=)詈+)鲁+鲁+鲁【).[,()+￡(]()】+()卜'()+,()()】+)卜'()()】+().卜'()3()一()】=())一()()+,(((一(()+00()'(一'()'()()一(()2()'()一()()=0(1)&;')5(砒()一'(()'(0(2),()6()4()一【()()=03)由(1)知可取'()'()这时取()=:,().()))="2()把()()(3)得'()='(),这时取()=()把'()丘()代八(2)得'()=(),这时取()=8)于是所作的李雅普诺夫函数为:=,()+,()+6()+:'四由条件(2)知()&;,当≠时由条件(1).(3)知譬2()&;,当≠时由条件(1).(4)知￡0