定数截尾缺失数据下Weibull分布的统计推断

徐晓岭

文章摘要:本文给出定数截尾缺失数据下Ｗｅｉｂｕｌｌ分布参数的点估计及区间估计，并通过大量的Ｍｏｎｔｅ－Ｇｒｌｏ模拟说明在样本比较大且缺失数较小的情况下点估计的精度是令人满意的。
文章主题:韦伯分布 点估计 区间估计 参数估计 可靠性

文章内容：2卷第4期1997年2月6弓一弓7臣.4隆定数截尾缺失数据下1分布的统计推断27弓徐晓岭(上海师范大学教学系,上梅.200234)摘要本文给出定数截尾缺失数据下¨分布参数的点估计及区间估计,并通过大量的.模拟说明在样本比较大且缺失效较小的情况下点估计的毒度是令人满意的,引言在可靠性寿命试验中,1分布是最常用的寿命分布之一,它的分布函数为:(￡)=1一一(÷)1.≥0(1)其中称为形状参数,称为刻度参数,1分布已有很多文献作了研究,在此不一一列举.文献[1]给出了缺失数据条件下参数的点估计,这些点估计包括,及等.但是在样本比较大时,计算系数相当复杂.本文给出定数截尾缺失数据下1分布参数的点估计及区间估计.并通过大量的-模拟说明在样本比较大且缺失数较小的情况下点估计的精度是令人满意的,2参数的点估计设产品的寿命服从两参数11分布(1).现假定有个产品进行寿命试验,到有个产品失效时停止试验(即定数截尾寿命试验),其次序失效数据为:㈨≤(2)≤…≤,)现考虑如下情形,即上述个失效数据由于某种原因使得有若干个数据缺失,设剩下个数据,即剩下的失效数据为:0=)&;()≤(,2)≤…≤')由于寿命服从分布(1).易知ⅳ=()服从标准指数分布,而服从标准掇收稿日期:94年6月7日.收到修改穑日期:94年9月"日点恐士甲-效理统计与应用概率第12卷第4期小值分布.下面我们利用文献[2]提供的结果:引理[:设(1)≤(2)≤…≤(≤…≤(,)是容量为的标准极小值分布的前个次序统计量.设1≤≤≤,于是当5和固定,一时.有下列渐近结果:()()一(1)≥(:一(2)≥…≥(—一1)是样本大小为—1,相互独立且同时服从标准指数分布的—1个次序统计量.(2)(,)一(,一)≤(,)一(,一2)≤…≤(,)一()是子样大小为—,相互独立且同时服从标准指数分布的—个次序统计量,并且与(1)中的一1个次序统计量是渐近独立的.(3)(一1)((,)一,一1)).(一2)(,一)一一2)),….((+1)一(】)是—个相互独立且同时服从标准指数分布的随机变量.并且与(1)中一1个次序统计量渐近独立.由引理1可知:(一1)≤(,一(一2)≤…≤(,)一(1))是近似地为样本大小为—的标准指数分布的前,一1个次序统计量,进而有()一"_1]≤(,)一(≤…-()一1】是近似地为样本大小为一1的指数分布1一…的前一1个次序统计量.令(1)=()一(,一1),(,)一(,一2).….(一1)=(,)一(,一1)即:)≤2】≤…≤一1)来自样本大小为一1的指数分布1一一的前—1个次序统计量.由于在()≤2)≤…≤(]中有一些数据缺失,剩下的数据为(】.(,…,《¨,在此约定=(因为若&;则(3)&;这些数据缺失,故可认为定数截尾数为)一于是在(),(2),…,(—)中剩下的数据为:'一.),一2】.….(,】,'一,,)共一1个数据.令1=一一,2:一一2.',一=一(约定=)则(…,,<>),-一,】)的联合密度为:():.[一'一一]—:.[一～一…]其中为与参数无关的常数.,_-<>(-++1)'.-1)一(一)●一1'一'_1.—[(-1)-''-.—罱()=(一1)[-一一]_[(—1)一-+(-1)一莹:-一一,一目一[(一1)一一-.—'令:型=0则得如下方程:口●第2卷第4期椽晓岭:定数截尾缺失数据下分布的统计推断365...-1一一一-1引理2;方程(2)有唯一解.证明:我们将(2)变形为如下形式:-1一-1-1-1)于是有:).,=∑+[(令函数)=一蓦¨一1]一=(2).一-～.—可并=-1一一-鲁一一一.?一一<>)[一()一】+【,一一<>,一_,]-(—一,)<>(—.一一,一…一一'1】一---11华害.即()是的严格单调减函数.令函数()=.…,2()=()…一….2(,17)=一,…由柯西定理存在靠,'一&;&;有:≤筹:一一一一'一】一一"于是有:)=一蓦1)(一)-1)+=蓦进而有:一1)]一∑(.一—1)—-)一∑(一一1),一■一一,.,■一●致理统计与应用概率第2卷第4期_)=+[(-1)由此可得方程(2)有唯一根,记其为而,则可得:∑(一-)&;前&;————————————————————————一",+[(,-1)一+∑-(--1)令=翌#,易知的分布与参数无关(在下节中给予说明).由引理2,那我们可通过大量的(本文为2000次).模拟得'的均值,记为,即()----'也即=1.,记0:..,其中=称为修偏系数,于是有():(.)=即0为形状参数的近似无偏估计.同理我们可知参数的点估计,此即为方程(3)的根:一(一=(3)3参数估计的性质性质:及(1一1)的分布与参数无关.证明:=.?,故只要证明的分布与参数无关即可.事实上:由于一箬营一一.'一一一.一"—__———_—一….一….¨一●一一苫[(,.1)-.=.-1一一...一!!!:::::一蓦.一,一一一,+.:.一一…—''于是:赢为母体为=1,=1的1分布形状参数的估计量.所.的分布与参数,无关.由此:为一抠轴量.一一一"¨∑0十一"¨∑一)—([+.√拳第12卷第4期棘晓岭:定敷截尾缺失数据下1分布的统计推断367叉由于.一妒一-(.?一;'——一?———:::——,——上0一壹一(一毒:0●.?一∑(—-1一1)?-于是有).(一一..一<>.(善).一宴(等).-矿.一("一^)(等).?矿.=.(护一宴-一-(詈).一(一,)...().—等).(善).一砉≯一州≯=0易知:)一()与参数无关()?=()'于是(詈)与参数无关,即(一)的分布与参数无关'由上述性质我们可以利用如下枢轴量,而.(1一1)的分布可对参数及作区间估计.关于参数估计的精度.我们对真值==就参数估计进行了2000次-模拟,模拟结果列于附表内.从表宙可以看到.当较小时.精度偏低.而较大时,精度愈高;当固定时,随的增大,精度愈高,而当很小时即缺失散太大.参数估计的均方